7 Lineær uafhængighed og baser

I dette kapitel skal vi studere basisbegrebet. En basis for et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ er en samling af elementer $\mathcal{V}= ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ , så ethvert element $v$ i $V$ entydigt kan skrives som en linearkombination

${\bm{v}}= \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n,$ af elementerne ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots,{\bm{v}}_n$ . Med entydigt menes der her, at der kun er ét muligt valg for skalarerne $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$ . Med andre ord så er $\mathcal{V}$ en basis, når den lineære transformation

$\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{F}^n & \rightarrow V \\ \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} & \mapsto \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n, \end{aligned} \tag{7.1}$ er en lineær isomorfi. I givet fald, så er $V$ isomorf med $\mathbb{F}^n$ , og vi kan derfor vælge at tænke på $V$ som det velkendte vektorrum $\mathbb{F}^n$ . Udgangspunktet for vores definition på en basis er angivet nedenfor, og vi vil i det følgende se, at denne definition netop beskriver situationen ovenfor.

[Udspænde, lineær uafhængighed og basis] For en samling $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,\ldots,{\bm{v}}_n) \in V^n$ af elementer i et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ defineres:

Samlingen af elementer $\mathcal{V}$ siges at udspænde $V$ , såfremt $\mathrm{Span}(\mathcal{V}) = V$ ; dvs. hvis ethvert element i $V$ er en linearkombination af ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots,{\bm{v}}_n$ .
Samlingen af elementer $\mathcal{V}$ siges at være lineært uafhængig, såfremt en identitet af formen
$\alpha \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n= \bm{0}, \tag{7.2}$ for skalarer $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \in \mathbb{F}$ , kun kan være opfyldt, når alle skalarer er nul; dvs. når
$\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n= 0. \tag{7.3}$ I modsat fald kaldes samlingen af elementer i $\mathcal{V}$ for lineært afhængig.
Samlingen af elementer $\mathcal{V}$ kaldes en basis for $V$ , såfremt $\mathcal{V}$ både udspænder $V$ og er lineært uafhængig.

Vektorerne

definerer en samling af elementer, der er en basis for $\mathbb{R}^3$ .

${\bm{v}}_1 = (1,2,3)^T$

${\bm{v}}_2 = (1,0,0)^T$

${\bm{v}}_3 = (0,1,1)^T$

${\bm{v}}_4 = (1,0,1)^T$

Quiz

Lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ betegne en samling af elementer i et vektorrum $V$ . Udsagnet

medfører udsagnet

, og er sammen med udsagnet

ækvivalent til udsagnet

${\bm{v}}_i \neq \bf0$ , for alle $i$

$\mathcal{V}$ er lineært uafhængig

$\mathcal{V}$ er en basis for $V$

$\mathcal{V}$ udspænder $V$

Vi skynder os at bemærke, at begreberne i ovenstående definition alle kan knyttes til egenskaber ved afbildningen (7.1).

Lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,\ldots,{\bm{v}}_n)$ betegne en samling af elementer i et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ . Da gælder:

$\mathcal{V}$ udspænder $V$ hvis og kun hvis $L_\mathcal{V}$ er surjektiv.
$\mathcal{V}$ er lineært uafhængig hvis og kun hvis $L_\mathcal{V}$ er injektiv.
$\mathcal{V}$ er en basis for $V$ hvis og kun hvis $L_\mathcal{V}$ er en isomorfi.

Bevis

Udfra beskrivelsen (7.1) af $L_\mathcal{V}$ , så er det klart, at billedet af $L_\mathcal{V}$ er lig $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ . Specielt er $L_\mathcal{V}$ surjektiv hvis og kun hvis $\mathrm{Span}(\mathcal{V})=V$ . Hermed følger (1.).

At $L_\mathcal{V}$ er injektiv er, jf. Sætning 6.11, ækvivalent med, at kernen for $L_\mathcal{V}$ er lig $\{ \bm{0} \}$ . Men $(\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n)^T$ er et element i kernen for $L_\mathcal{V}$ hvis og kun hvis identiteten

$\alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n= \bm{0}, \tag{7.4}$ er opfyldt. At $L_\mathcal{V}$ er injektiv er altså ækvivalent med, at identiteten (7.4) kun kan være opfyldt når $\alpha_i=0$ , for $i=1,2,\ldots,n$ , hvilket jo er definitionen på, at $\mathcal{V}$ er lineært uafhængig. Dette viser (2.).

At Lemma 7.3 (3.) gælder, følger fra det allerede viste, idet $L_\mathcal{V}$ er en isomorfi netop når $L_\mathcal{V}$ er både injektiv og surjektiv.

I tilfældet hvor $V= \mathbb{F}^n$ , der har vi allerede stiftet bekendtskab med basisbegrebet. Der gælder nemlig:

Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en matrix med søjler $\bm{a}_1,\bm{a}_2,\ldots,\bm{a}_n$ . Så er $A$ invertibel hvis og kun hvis $(\bm{a}_1,\bm{a}_2, \ldots,\bm{a}_n)$ er en basis for $\mathbb{F}^n$ .

Bevis

Sæt $\mathcal{V}=(\bm{a}_1,\bm{a}_2, \ldots,\bm{a}_n)$ og bemærk, at der, jf. (5.23), så gælder, at $L_\mathcal{V} = L_A$ . Specielt er $\mathcal{V}$ dermed en basis for $\mathbb{F}^n$ hvis og kun hvis $L_\mathcal{V}=L_A$ er en isomorfi, jf. Lemma 7.3 (3.). Men ifølge Proposition 6.26, så er $L_A$ en isomorfi hvis og kun hvis $A$ er invertibel. Hermed er det ønskede vist.

Quiz

Vektorerne

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ udgør sammen med

en samling af elementer, der er en basis for det reelle vektorrum $\mathbb{R}^3$ .

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$

Vi har tidligere defineret (jf. Afsnit 5.2) hvad det vil sige, at en samling af elementer ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ udspænder et vektorrum $V$ . I den ovenfor indførte notation så er dette begreb ækvivalent med, at $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ udspænder $V$ . De to indførte versioner af at udspænde er derfor nærmest identiske. Tilsvarende siger vi ofte blot, at ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ er lineært uafhængig eller en basis, såfremt det tilsvarende er opfyldt for $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ .

En identitet af formen

$\alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n = \bm{0} \tag{7.5}$ kaldes for en lineær relation mellem ${\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n$ . F.eks. har vi altid den trivielle lineære relation

$0 \cdot {\bm{v}}_1 + 0 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + 0 \cdot {\bm{v}}_n=\bm{0}.$ Ifølge Definition 7.1 så er $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots, {\bm{v}}_n)$ lineært uafhængig, netop når der ikke findes andre end den trivielle lineære relation mellem ${\bm{v}}_i$ 'erne. Følgende resultat skal ses som en generalisering af dette udsagn.

Lad $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$ og $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n \in \mathbb{F}$ betegne skalarer, og lad $\mathcal{V} =({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\allowbreak \ldots, \allowbreak {\bm{v}}_n)$ betegne en lineært uafhængig samling af elementer i $V$ . Hvis

$\alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n = \beta_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \beta_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \beta_n \cdot {\bm{v}}_n, \tag{7.6}$ så er $\alpha_i=\beta_i$ , for $i=1,2,\ldots, n$ .

Bevis

Bemærk, for det første, at $L_\mathcal{V}$ er injektiv, jf. Lemma 7.3 (2.). Men identiteten (7.6) er ækvivalent med, at

$L_\mathcal{V} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = L_\mathcal{V} \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \end{pmatrix} , \tag{7.7}$ og det ønskede følger.

En samling $\mathcal{V}=({\bm{v}})$ bestående af et enkelt element ${\bm{v}}$ er lineært uafhængig hvis og kun hvis ${\bm{v}} \neq \bm{0}$ : hvis ${\bm{v}}=\bm{0}$ , så vil
$1 \cdot {\bm{v}} = \bm{0},$ være en ikke-triviel lineær relation, og $\mathcal{V}=({\bm{v}})$ er derfor lineært afhængig. Hvis modsat $\mathcal{V}=({\bm{v}})$ er lineært afhængig, så eksisterer der en ikke-triviel lineær relation (dvs. $\alpha \neq 0$ )
$\alpha \cdot {\bm{v}} = \bm{0}.$ Specielt er
${\bm{v}} = \alpha^{-1} \cdot ( \alpha \cdot {\bm{v}}) = \alpha^{-1} \cdot \bm{0} = \bm{0}.$
Lad $\mathcal{V} = (\bm{u},{\bm{v}})$ betegne en samling af to elementer fra $V$ . Så er $\mathcal{V}$ lineært afhængig hvis og kun hvis der eksisterer en skalar $c \in \mathbb{F}$ så enten $\bm{u} = c\cdot {\bm{v}}$ eller ${\bm{v}}= c \cdot \bm{u}$ : Antag, at $\mathcal{V}$ er lineært afhængig, og lad
$\alpha \cdot \bm{u} + \beta \cdot {\bm{v}} =\bm{0}, \tag{7.8}$ være en ikke-triviel lineær relation. Hvis $\alpha \neq 0$ , så sættes $c=-\beta \alpha^{-1}$ , og relation (7.8) omskrives da let til $\bm{u} = c \cdot {\bm{v}}$ . Tilsvarende overvejelser udføres hvis $\beta \neq 0$ . Antag omvendt, at $\bm{u} = c \cdot {\bm{v}}$ . Så er
$1 \cdot \bm{u} + (-c) \cdot {\bm{v}} = \bm{0},$ en ikke-triviel relation, og $\mathcal{V}$ er dermed lineært afhængig. Tilsvarende argumenteres hvis ${\bm{v}}= c \cdot \bm{u}$ .
I vektorrummet af reelle polynomier $P(\mathbb{R})$ er enhver samling af elementer på formen
$\mathcal{V}_n=(1,X,X^2,\ldots, X^{n-1}) \text{\quad for }n \geq 1, \tag{7.9}$ lineært uafhængig. Dette udsagn følger umiddelbart af Korollar B.14, idet en relation af formen
$\alpha_0 +\alpha_1 \cdot X + \cdots+ \alpha_{n-1} \cdot X^{n-1}=0, \tag{7.10}$ for reelle skalarer $\alpha_0,\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ , kun kan være nulpolynomiet, såfremt
$\alpha_0 = \alpha_1 = \cdots = \alpha_{n-1}=0. \tag{7.11}$ Ingen af mængderne $\mathcal{V}_n$ udspænder dog $P(\mathbb{R})$ , og $\mathcal{V}_n$ er derfor ikke en basis for $P(\mathbb{R})$ . Derimod er $\mathcal{V}_n$ en basis for $P_n(\mathbb{R})$ .
I det reelle vektorrum $C^{(1)}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ er $\mathcal{V}=(f,g)$ med $f(t)=\cos (t)$ og $g(t)=\sin (t)$ , for alle $t \in \mathbb{R}$ , lineært uafhængige. Dette skyldes, at hvis der for reelle skalarer $\alpha$ og $\beta$ gælder, at
$\alpha \cdot f + \beta \cdot g \tag{7.12}$ er nulfunktionen, så er
$\begin{aligned} \alpha & = \alpha \cdot f(0) + \beta \cdot g(0) = 0 \\ \beta & = \alpha \cdot f\big(\frac{\pi}{2}\big) + \beta \cdot g\big(\frac{\pi}{2}\big) = 0. \end{aligned}$ Derimod er $\mathcal{W} = (1, f^2, g^2)$ ikke lineært uafhængig, idet linearkombinationen
$1 \cdot 1 + (-1) \cdot f^2 + (-1) \cdot g^2$ er nulfunktionen (idet: $\cos^2(t)+ \sin^2(t) = 1$ , for alle $t \in \mathbb{R}$ ).
Lad $\mu \in \mathbb{C}$ betegne et komplekst tal. Funktionerne
$\begin{aligned} h_{k,\mu} : \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{C} , \\ t & \mapsto t^k \cdot e^{\mu \cdot t} \end{aligned}$ for et heltal $k\geq 0$ , er da elementer i $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C})$ . For ethvert heltal $n>0$ vil samlingen af elementer $\mathcal{V}_n^\mu= (h_{0,\mu},h_{1,\mu}, \ldots, h_{n-1,\mu})$ være lineært uafhængig. Antag nemlig, at
$\alpha_1 \cdot h_{0,\mu} + \alpha_2 \cdot h_{1,\mu} + \ldots + \alpha_n \cdot h_{n-1,\mu} = \bm{0}, \tag{7.13}$ hvor $\alpha_j$ 'erne betegner komplekse tal; dvs. at
$\alpha_1 e^{\mu \cdot t} + \alpha_2 t e^{\mu \cdot t} + \cdots + \alpha_n t^{n-1} e^{\mu \cdot t}=0, \tag{7.14}$ for alle $t \in \mathbb{R}$ . Ved division af (7.14) med $e^{\mu \cdot t}$ så opnås den polynomielle identitet
$\alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot t + \ldots + \alpha_n \cdot t^{n-1} = 0, \tag{7.15}$ for alle $t \in \mathbb{R}$ , hvilken kun kan opfyldes, hvis alle $\alpha_j$ 'erne er lig $0$ , jf. Korollar B.14. Dermed er det vist, at $\mathcal{V}_n^\mu$ er lineært uafhængig. Spannet $\mathrm{Span}(\mathcal{V}_n^\mu)$ betegnes med notationen $P_n^\mu(\mathbb{C})$ .
Lad $\bm{e}_i \in \mathbb{F}^n$ , for $i=1, \ldots, n$ , betegne elementet, hvis $i$ 'te koordinat er lig $1$ mens de øvrige koordinater er lig $0$ . Så er
$\mathcal{E} = (\bm{e}_1,\bm{e}_2, \ldots, \bm{e}_n) \tag{7.16}$ en basis for vektorrummet $\mathbb{F}^n$ : hvis $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \in \mathbb{F}$ betegner skalarer, så viser identiteten
$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = \alpha_1 \cdot \bm{e}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{e}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot \bm{e}_n,$ at ethvert element i $\mathbb{F}^n$ på entydig vis er en linearkombination af elementerne $\bm{e}_1,\bm{e}_2,\ldots,\bm{e}_n$ . Basen $\mathcal{E}$ kaldes også for standardbasen for $\mathbb{F}^n$ , mens $\bm{e}_i$ kaldes for det $i$ 'te standardbasiselement. Hvis vi ønsker at specificere $n$ i notationen, så skriver vi også $\mathcal{E}_n$ i stedet for $\mathcal{E}$ .
Hvis $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ er en lineært uafhængig samling af elementer i et vektorrum $V$ , så er $\mathcal{V}$ en basis for $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ . For det første, så er det oplagt, at $\mathcal{V}$ udspænder $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ . Derudover er $\mathcal{V}$ lineært uafhængig pr. antagelse.

De fleste grundlæggende egenskaber ved begreberne lineært uafhængighed og udspænde er indeholdt i følgende resultat.

Lad ${\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n$ betegne elementer i et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ .

Hvis $({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ er lineært afhængig og $n>1$ , så eksisterer der et $i$ , $1 \leq i \leq n$ , så
$\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_{i-1}, {\bm{v}}_{i+1}, \ldots, {\bm{v}}_n) = \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n).$
Antag, at $({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ er lineært uafhængig. Lad ${\bm{v}} \in V$ . Så gælder
${\bm{v}} \notin \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n) \quad\Longleftrightarrow\quad ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n, {\bm{v}} ) \text{ lineært uafhængig}.$

Bevis

(1) Idet $({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ er lineært afhængig, så eksisterer der en ikke-triviel lineær relation

$\alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n= \bm{0}, \tag{7.17}$ for passende skalarer $\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$ . At (7.17) er ikke-triviel, betyder, at der eksisterer et $i$ , så $\alpha_i \neq 0$ . Ved at multiplicere (7.17) med $\alpha_i^{-1}$ , så kan vi ydermere antage, at $\alpha_i=1$ .

Vi konkluderer, at

${\bm{v}}_i = -( \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \cdots + \alpha_{i-1} \cdot {\bm{v}}_{i-1} + \alpha_{i+1} \cdot {\bm{v}}_{i+1} + \cdots +\alpha_n \cdot {\bm{v}}_n),$ hvilket betyder, at ${\bm{v}}_i$ er et element i $V_i=\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_{i-1}, {\bm{v}}_{i+1},\ldots, {\bm{v}}_n)$ . Jf. Lemma 5.12, så er $\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ det mindste underrum i $V$ indeholdende ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ , og $\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ må derfor være en delmængde af $V_i$ . Idet det samtidig er oplagt, at $V_i$ er en delmængde af $\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ , så følger det ønskede.

(2) " $\Rightarrow$ ": Antag at ${\bm{v}} \notin \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ , og lad $\alpha, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$ betegne skalarer, så

$\alpha \cdot {\bm{v}} + \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot {\bm{v}}_i = 0.$ Hvis $\alpha \neq 0$ , så følger det, at

${\bm{v}} = - \alpha^{-1} \cdot \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot {\bm{v}}_i \in \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n),$ hvilket er i modstrid med antagelsen. Altså er $\alpha = 0$ , og vi opnår, at $\sum_{i=1}^n \alpha_i {\bm{v}}_i = 0$ . Da $({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ er lineært uafhængig, så følger det nu, at $\alpha_i = 0$ for alle $i$ . Samlet set er $({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n, {\bm{v}})$ altså lineært uafhængig.

" $\Leftarrow$ ": Antag at $({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n,{\bm{v}})$ er lineært uafhængig. Hvis

${\bm{v}} \in \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n), \tag{7.18}$ så eksisterer der skalarer $\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n \in \mathbb{F}$ , så

${\bm{v}} = \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n. \tag{7.19}$ Dermed er

$\alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n + (-1) \cdot {\bm{v}} = \bm{0}, \tag{7.20}$ en ikke-triviel lineær relation. Dette er i modstrid med antagelsen om, at $({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n,{\bm{v}})$ er lineært uafhængig, og beviset er afsluttet.

Lad $V$ betegne et vektorrum og $n>0$ betegne et heltal. Så har $V$ endelig dimension $n$ hvis og kun hvis $V$ har en basis bestående af $n$ elementer.

Bevis

Antag i første omgang, at $V$ har en basis $\mathcal{V}$ bestående af $n$ elementer. Ifølge Lemma 7.3 (3.) så er $L_\mathcal{V}$ da en isomorfi mellem $\mathbb{F}^n$ og $V$ , og dermed gælder der, at

$\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(\mathbb{F}^n) = n, \tag{7.21}$ jf. Proposition 6.20 og Proposition 5.19.

Antag nu omvendt, at $V$ har dimension $n$ . Specielt vil $V$ kunne udspændes af $n$ elementer $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ . Vi påstår, at $\mathcal{V}$ er lineært uafhængig: antag nemlig, at $\mathcal{V}$ var lineært afhængig. Hvis $n=1$ , så er ${\bm{v}}_1= \bm{0}$ , jf. Eksempel 7.7 (1.), og dermed er $V = \{ \bm{0} \}$ , hvilket er i modstrid med, at $\mathrm{dim}(V)=n>0$ . Hvis derimod $n>1$ , så kan $V$ udspændes af $n-1$ elementer, jf. Lemma 7.8 (1.), hvilket er i modstrid med antagelsen om, at $\mathrm{dim}(V) = n$ .

Vi konkluderer, at $\mathcal{V}$ er en basis for $V$ , og det ønskede er dermed opnået.

Antallet af elementer i en basis for et vektorrum er dermed entydigt bestemt.

Lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ og $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots,\bm{w}_m)$ betegne baser for et vektorrum $V$ . Så er $n=m$ .

Bevis

Ifølge Proposition 7.9 så kan $\mathrm{dim}(V)$ bestemmes som antallet af basiselementer i en basis for $V$ . Specielt er

$n=\mathrm{dim}(V)=m,$ som ønsket.

Lad $V$ betegne et vektorrum af endelig dimension $n>0$ , og lad $\mathcal{W} = (\bm{w}_1, \bm{w}_2, \ldots, \bm{w}_m)$ betegne en lineært uafhængig samling af elementer i $V$ . Så er $m \leq n$ .

Bevis

Idet $V$ har dimension $n>0$ , så eksisterer der, jf. Proposition 7.9, en basis $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ for $V$ bestående af $n$ elementer. Specielt er $L_\mathcal{V}$ en isomorfi, jf. Lemma 7.3 (3.). Betragt nu den sammensatte afbildning

$T = L_\mathcal{V}^{-1} \circ L_\mathcal{W} : \mathbb{F}^m \rightarrow \mathbb{F}^n.$ Ifølge Lemma 7.3 (2.), så er $L_\mathcal{W}$ injektiv, og dermed er $T$ en sammensætning af injektive lineære transformationer. Vi konkluderer, at $T$ selv er en injektiv lineær transformation. Men så er $m \leq n$ ifølge Proposition 6.25.

Lad $V$ betegne et vektorrum af endelig dimension $n>0$ , og lad $\mathcal{V}= ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ betegne en samling af $n$ elementer i $V$ . Så er følgende udsagn ækvivalente:

$\mathcal{V}$ er lineært uafhængig.
$\mathcal{V}$ udspænder $V$ .
$\mathcal{V}$ er en basis for $V$ .

Bevis

Udsagn (1) $\Rightarrow$ (3): Antag at $\mathcal{V}$ er lineært uafhængig. Hvis $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ ikke er lig $V$ , så kan vi finde et ${\bm{v}} \in V$ , der ikke er indeholdt i $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ . Ifølge Lemma 7.8 (2.), så vil

$\mathcal{W}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n,{\bm{v}})$ være lineært uafhængig, og dermed er $n+1 \leq \mathrm{dim}(V)=n$ , jf. Lemma 7.11. Dette er en oplagt modstrid, og vi konkluderer, at $\mathrm{Span}(\mathcal{V})=V$ . Dvs. $\mathcal{V}$ udspænder $V$ og er dermed samlet set en basis.

Udsagn (2) $\Rightarrow$ (3): Antag at $\mathcal{V}$ udspænder $V$ . Hvis $\mathcal{V}$ er lineært afhængig, så må $n> 1$ , jf. Eksempel 7.7 (1.). Vi kan derfor anvende Lemma 7.8 (1.) og konkludere, at $V$ kan udspændes af $n-1$ elementer. Specielt vil $\mathrm{dim}(V) \leq n-1$ , pr. definition af dimension. Dette er en oplagt modstrid, og dermed må $\mathcal{V}$ være lineært uafhængig. Samlet set er $\mathcal{V}$ derfor en basis.

De resterende implikationer er nu oplagte og overlades til læseren.

Quiz

Lad $\mathcal{V} = ({\bm{v}}_{1},\ldots,{\bm{v}}_{m})$ være en samling af elementer i $V$ , hvor $V$ betegner et vektorrum af dimension $n$ . Antag, at $m,n > 1. \\$ Hvis $\mathcal{V}$

, eksisterer der et $i \in \{1,...,m\}$ , således ${\bm{v}}_{i} \in$ $\mathrm{Span}({\bm{v}}_{1},...,{\bm{v}}_{i-1},{\bm{v}}_{i+1},...,{\bm{v}}_{m}).\\$ $L_{\mathcal{V}}$ er en isomorfi $\Leftrightarrow \mathcal{V}$

. $\\$ $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ har dimension $m \Leftrightarrow \mathcal{V}$

er lineært uafhængig

er lineært uafhængig og $m\geq n$

er lineært afhængig

7.1 Udvidelse og udtynding

At en samling af elementer $\mathcal{W}$ i et vektorrum $V$ er en basis, betyder, at $\mathcal{W}$ både udspænder $V$ og er lineært uafhængig. Såfremt $\mathcal{W}$ kun opfylder en enkelt af disse to betingelser, så er $\mathcal{W}$ ikke umiddelbart en basis, men man kan alligevel anvende $\mathcal{W}$ til at konstruere en basis for $V$ . Dette er indholdet af begreberne udtynde og udvide, der er beskrevet i følgende sætning.

Lad $V$ betegne et vektorrum af endelig dimension $n>0$ , og lad $\mathcal{W}=({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_m)$ betegne en samling af $m$ elementer i $V$ .

Hvis $\mathcal{W}$ udspænder $V$ , så er $n \leq m$ , og $\mathcal{W}$ kan udtyndes til en basis for $V$ ; dvs. der eksisterer en følge af heltal
$1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_n \leq m,$ så $\mathcal{V}=({\bm{v}}_{i_1}, {\bm{v}}_{i_2}, \ldots, {\bm{v}}_{i_n})$ er en basis for $V$ .
Hvis $\mathcal{W}$ er lineært uafhængig, så er $m \leq n$ , og $\mathcal{W}$ kan udvides til en basis for $V$ ; dvs. der eksisterer elementer
${\bm{v}}_{m+1}, {\bm{v}}_{m+2}, \ldots, {\bm{v}}_{n} \in V,$ så $\mathcal{V} = ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ er en basis for $V$ .

Bevis

(1): Vi viser først, at $\mathcal{W}$ kan udtyndes til en basis for $V$ . Til dette argumenterer vi via induktion i $m>0$ . Hvis $m=1$ , så vil $\mathcal{W}=({\bm{v}}_1)$ udspænde $V$ , og da $V \neq \{ \bm{0} \}$ (idet $n >0$ ), så vil $\mathcal{W}$ være lineært uafhængig, jf. Eksempel 7.7 (1.). Specielt er $\mathcal{W}$ en basis, og vi kan derfor anvende $\mathcal{V}=\mathcal{W}$ . Antag herefter, at $m>1$ og at udsagnet er vist i tilfældet $m-1$ . Hvis $\mathcal{W}$ er lineært uafhængig, så er $\mathcal{W}$ en basis, og vi kan derfor anvende $\mathcal{V}=\mathcal{W}$ . Hvis derimod $\mathcal{W}$ er lineært afhængig, så eksisterer der, jf. Lemma 7.8 (1.), et $i$ , $1 \leq i \leq m$ , så

$\mathcal{W}_i = ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_{i-1},{\bm{v}}_{i+1}, {\bm{v}}_{i+2}, \ldots, {\bm{v}}_{m}),$ udspænder $V$ . Pr. induktion kan $\mathcal{W}_i$ dermed udtyndes til en basis $\mathcal{V}$ for $V$ , og denne basis er nødvendigvis også en udtynding af $\mathcal{W}$ .

At $n \leq m$ følger nu, idet $n=\mathrm{dim}(V)$ er antallet af elementer i basen $\mathcal{V}$ , jf. Proposition 7.9.

(2): At $m \leq n$ følger af Lemma 7.11. At $\mathcal{W}$ kan udvides til en basis for $V$ vises nu ved induktion i tallet $n-m \geq 0$ . Hvis $n-m=0$ , så er $\mathcal{W}$ er en basis for $V$ , jf. Proposition 7.12.

Antag nu, at $n-m >0$ , og at udsagnet er vist i tilfælde, hvor det tilsvarende tal er én mindre. Idet $m \neq n$ , så er $\mathcal{W}$ ikke en basis for $V$ , jf. Proposition 7.9, og $\mathcal{W}$ kan derfor ikke udspænde $V$ . Vi kan derfor vælge et ${\bm{v}}_{m+1}$ i $V$ , som ikke er indeholdt i $\mathrm{Span}(\mathcal{W})$ . Pr. Lemma 7.8 (2.) er $\mathcal{W}' = ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots, {\bm{v}}_{m+1})$ da lineært uafhængig. Pr. induktion, så kan $\mathcal{W}'$ nu udvides til en basis for $V$ , og en sådan udvidelse er samtidig en udvidelse af $\mathcal{W}$ . Dette afslutter argumentet.

Lad $V$ betegne et vektorrum af uendelig dimension. Lad $n >0$ betegne et heltal. Så findes der en samling af $n$ elementer $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ i $V$ , som er lineært uafhængig.

Bevis

Udsagnet vises ved induktion i $n$ . For $n=1$ skal vi, ifølge Eksempel 7.7 (1.), blot vise eksistensen af et element ${\bm{v}}_1$ i $V$ forskellig fra $\bm{0}$ . Men dette er oplagt, idet hvis $V = \{ \bm{0} \}$ , så var dimensionen af $V$ lig $0$ , hvilket ikke er tilfældet.

Antag nu, at $n>1$ og at udsagnet er vist for tallet $n-1$ . Vi kan da finde en samling af $n-1$ lineært uafhængige elementer $\mathcal{V}' = ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_{n-1})$ i $V$ . Såfremt $V=\mathrm{Span}(\mathcal{V}')$ , så ville $n-1$ være en øvre grænse for dimensionen af $V$ . Men dette er i modstrid med antagelsen, og derfor må $\mathrm{Span}(\mathcal{V}')$ være forskellig fra $V$ . Vi kan dermed finde et element ${\bm{v}}_n \in V$ , som ikke er indeholdt i $\mathrm{Span}(\mathcal{V}')$ . Ifølge Lemma 7.8 (2.) er $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ dermed lineært uafhængig. Dette afslutter induktionsbeviset.

Lad $W$ betegne et underrum af et vektorrum $V$ . Så er $\mathrm{dim}(W) \leq \mathrm{dim}(V)$ . Hvis $\mathrm{dim}(V) < \infty$ og $\mathrm{dim}(W)=\mathrm{dim}(V)$ , så er $V=W$ .

Bevis

Hvis $\mathrm{dim}(V)=\infty$ , så er udsagnet oplagt. Tilsvarende hvis $\mathrm{dim}(W)=0$ . Vi kan derfor antage, at $\mathrm{dim}(V) < \infty$ og at $\mathrm{dim}(W) \neq 0$ . Sæt $n=\mathrm{dim}(V)$ . Vi påstår, at dimensionen af $W$ er endelig. I modsat fald vil vi, ifølge Lemma 7.15, kunne finde en samling $\mathcal{V}$ af $n+1$ lineært uafhængige elementer i $W$ . Specielt er $\mathcal{V}$ også lineært uafhængig i $V$ , og Lemma 7.11 implicerer derfor, at $n+1 \leq n$ , hvilket er en åbenlys modstrid.

Vi konkluderer, at $W$ har endelig dimension, og dermed har $W$ en basis bestående af $\mathrm{dim}(W)$ elementer (jf. Proposition 7.9). Såfremt $\mathrm{dim}(W)>n$ , så vil en basis for $W$ indeholde mindst $n+1$ lineært uafhængige elementer, og et argument som ovenfor fører da til en modstrid. Vi har dermed nødvendigvis, at $\mathrm{dim}(W) \leq \mathrm{dim}(V)$ .

Antag nu, at $\mathrm{dim}(W) = \mathrm{dim}(V)$ . Vi kan da vælge en basis $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots, \bm{w}_n)$ for $W$ bestående af $n$ elementer. Så er $\mathcal{W}$ en lineært uafhængig samling af elementer i $V$ bestående af $\mathrm{dim}(V)$ elementer, og Proposition 7.12 implicerer da, at $\mathcal{W}$ er en basis for $V$ . Specielt udspænder $\mathcal{W}$ både vektorrummet $W$ og $V$ , og vi har derfor nødvendigvis $V=\mathrm{Span}(\mathcal{W})=W$ .

Quiz

Lad $V$ betegne et underrum af dimension $n$ i det reelle vektorrum $\mathbb{R}^2$ . Angiv, hvilke af følgende udsagn der med sikkerhed er sande.

$n \leq 2$

Hvis $V$ hverken er lig nulvektorrummet eller $\mathbb{R}^2$ , så er $n=1$

Hvis $n>1$ , så er $V=\mathbb{R}^2$

$V$ indeholder mindst to elementer

7.2 En dimensionsformel

Vi ønsker nu at studere dimensionsbegrebet i forbindelse med lineære transformationer. I første omgang bemærker vi:

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en isomorfi af $\mathbb{F}$ -vektorrum, og lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ betegne en samling af elementer i $V$ . Sæt $\bm{w}_i=L({\bm{v}}_i)$ , for $i=1,\ldots,n$ , og lad $\mathcal{W}=(\bm{w}_1, \bm{w}_2, \ldots, \bm{w}_n)$ betegne den dertil hørende samling af elementer i $W$ . Da gælder der:

$\mathcal{V}$ er lineært uafhængig hvis og kun hvis $\mathcal{W}$ er lineært uafhængig.
$\mathcal{V}$ udspænder $V$ hvis og kun hvis $\mathcal{W}$ udspænder $W$ .
$\mathcal{V}$ en basis for $V$ hvis og kun hvis $\mathcal{W}$ er en basis for $W$ .

Bevis

Idet $L$ er lineær , så vil der for ethvert valg af skalarer $\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n \in \mathbb{F}$ , gælde, at (jf. Proposition 6.2)

$L(\alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n ) = \alpha_1 \cdot \bm{w}_1 + \cdots + \alpha_n \cdot \bm{w}_n. \tag{7.22}$ Specielt vil sammensætningen $L \circ L_\mathcal{V}$ være identisk med $L_\mathcal{W}$ . Idet $L$ samtidig er en isomorfi (dvs. specielt invertibel), så vil $L_\mathcal{V}$ være invertibel (resp. injektiv eller surjektiv) hvis og kun hvis det tilsvarende er gældende om $L_W=L \circ L_\mathcal{V}$ . Påstandene følger nu umiddelbart fra Lemma 7.3.

Betragt en isomorfi af formen $L : \mathbb{F}^n \rightarrow V$ . Vi har allerede set, at standardbasen $\mathcal{E} = (\bm{e}_1,\bm{e}_2, \ldots, \bm{e}_n)$ er en basis for $\mathbb{F}^n$ , og dermed er $\mathcal{V} = (L(\bm{e}_1), L(\bm{e}_2), \ldots, L(\bm{e}_n))$ en basis for $V$ ifølge Proposition 7.18. Specielt er $L_\mathcal{V}$ en isomorfi. I dette tilfælde er $L_\mathcal{V}$ identisk med $L$ idet
$\begin{aligned} L \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} & = L( \alpha_1 \cdot \bm{e}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{e}_2+ \cdots + \alpha_n \cdot \bm{e}_n) \\ & = \alpha_1 \cdot L(\bm{e}_1) + \alpha_2 \cdot L(\bm{e}_2)+ \cdots + \alpha_n \cdot L(\bm{e}_n) \\ & = L_\mathcal{V} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} . \end{aligned}$
I Eksempel 6.18 (5.) så vi, at afbildningen
$\begin{aligned} V & \rightarrow V \times \{ \bm{0} \}, \\ v & \mapsto (v,\bm{0}) \end{aligned}$ var en lineær isomorfi. Hvis $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ betegner en basis for $V$ , så er $\big(({\bm{v}}_1,\bm{0}), ({\bm{v}}_2,\bm{0}), \ldots,({\bm{v}}_n,\bm{0})\big)$ dermed en basis for $V \times \{ \bm{0} \}$ .

Lad $a$ og $b$ betegne elementer i mængden $\left\{ 0,1,2, 3,\ldots \right\} \cup \left\{ \infty \right\}$ . Vi arbejder i den følgende sætning med konventionen, at $a+b$ er lig $\infty$ , hvis $a$ eller $b$ er lig $\infty$ . Hvis både $a$ og $b$ er forskellig fra $\infty$ , så betegner $a+b$ blot den sædvanlige sum indenfor $\mathbb{Z}$ .

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær transformation mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum. Så er

$\mathrm{dim} \big(V \big) = \mathrm{dim} \big( \ker(L) \big) + \mathrm{dim} \big( L(V) \big). \tag{7.23}$ Antag nu, yderligere, at kernen $\ker(L)$ og billedet $L(V)$ begge er af endelig dimension $>0$ . Lad $\mathcal{U}=(\bm{u}_1, \ldots,\bm{u}_n)$ betegne en basis for $\ker(L)$ , og lad ${\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_m$ betegne elementer i $V$ , så $\mathcal{W} = (L({\bm{v}}_1), \ldots, L({\bm{v}}_m))$ er en basis for $L(V)$ . Så er $\mathcal{V}=(\bm{u}_1, \ldots, \bm{u}_n, {\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_m)$ en basis for $V$ .

Bevis

Hvis $\ker(L) = \{ \bm{0} \}$ , så er den lineære transformation $L : V \rightarrow L(V)$ en isomorfi. Specielt er $\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim} \big( L(V) \big)$ , ifølge Proposition 6.20, og identiteten (7.23) følger dermed. Hvis derimod $L(V) = \{ \bm{0} \}$ , så er $\ker(L) = V$ , og identiteten (7.23) er så også opfyldt.

Vi kan derfor antage, at $\ker(L)$ og $L(V)$ begge er af dimension $>0$ . Ifølge Proposition 7.16, er $\mathrm{dim}(\ker(L)) \leq \mathrm{dim}(V)$ , og dermed er formel (7.23) også gældende, når $\mathrm{dim}(\ker(L))=\nobreak \infty$ . I tilfældet hvor $\mathrm{dim}(L(V)) = \infty$ , vil $V$ også have uendelig dimension: modsat ville $V$ kunne udspændes af en endelig samling af elementer $\mathcal{V} = (\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots,\bm{w}_k)$ i $V$ , og dermed, ifølge Eksempel 6.10 (3.), vil

$L(V) = L(\mathrm{Span}(\mathcal{V})) = \mathrm{Span}(L(\bm{w}_1), L(\bm{w}_2), \ldots, L(\bm{w}_k)).$ Dvs. $L(V)$ ville kunne udspændes af $k$ elementer, hvilket er i modstrid med antagelsen $\mathrm{dim}(L(V)) = \infty$ .

Vi har dermed reduceret til tilfældet, hvor både $\ker(L)$ og $L(V)$ er vektorrum af endelig dimension $>0$ . Vi vælger da $\mathcal{V}=(\bm{u}_1, \ldots, \bm{u}_n, {\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_m)$ som i formuleringen af sætningen, og kan da nøjes med at vise, at $\mathcal{V}$ er en basis for $V$ , jf. Proposition 7.9. Vi viser først, at $\mathcal{V}$ er lineært uafhængig. Lad $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$ og $\beta_1, \ldots, \beta_m \in \mathbb{F}$ betegne skalarer, og antag, at

$\alpha_1 \cdot \bm{u}_1+ \cdots + \alpha_n \cdot \bm{u}_n + \beta_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \cdots + \beta_m \cdot {\bm{v}}_m = \bm{0}. \tag{7.24}$ Anvendes $L$ på begge sider af relationen (7.24), så opnås

$\alpha_1 \cdot L(\bm{u}_1)+ \cdots + \alpha_n \cdot L(\bm{u}_n) + \beta_1 \cdot L({\bm{v}}_1) + \cdots + \beta_m \cdot L({\bm{v}}_m) = \bm{0}. \tag{7.25}$ Men $L(\bm{u}_i) = \bm{0}$ , for $i=1,2,\ldots,n$ , idet $\bm{u}_i \in \ker(L)$ , og dermed reducerer (7.25) til

$\beta_1 \cdot L({\bm{v}}_1) + \cdots + \beta_m \cdot L({\bm{v}}_m) = \bm{0}. \tag{7.26}$ Idet $\mathcal{W}$ er en basis for $L(V)$ , så konkluderes det dermed, at $\beta_j=0$ for $j=1, \ldots, m$ . Specielt reducerer den oprindelige ligning (7.24) til

$\alpha_1 \cdot \bm{u}_1+ \ldots + \alpha_n \cdot \bm{u}_n = \bm{0}, \tag{7.27}$ og dermed er $\alpha_i=0$ , for $i=1, \ldots,n$ , idet $\mathcal{U}$ er en basis for $\ker(L)$ . Dette viser, at $\mathcal{V}$ er lineært uafhængig.

Vi mangler nu blot at vise, at $\mathcal{V}$ udspænder $V$ . Lad derfor ${\bm{v}} \in V$ betegne et arbitrært element i $V$ . Idet $\mathcal{W}$ er en basis for $L(V)$ , så eksisterer der skalarer $\gamma_1, \ldots, \gamma_m \in \mathbb{F}$ , så

$L({\bm{v}}) = \gamma_1 \cdot L({\bm{v}}_1) + \cdots + \gamma_m \cdot L({\bm{v}}_m). \tag{7.28}$ Betragt nu

$\bm{u} = {\bm{v}} - (\gamma_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \cdots + \gamma_m \cdot {\bm{v}}_m). \tag{7.29}$ Så

$L(\bm{u}) = L({\bm{v}}) - (\gamma_1 \cdot L({\bm{v}}_1) + \cdots + \gamma_m \cdot L({\bm{v}}_m)) = \bm{0}, \tag{7.30}$ ifølge (7.28). Altså vil $\bm{u} \in \ker(L)$ , og dermed eksisterer der skalarer $\mu_1, \ldots,\allowbreak \mu_n \in \mathbb{F}$ , så

$\bm{u} = \mu_1 \cdot \bm{u}_1 + \cdots + \mu_n \cdot \bm{u}_n. \tag{7.31}$ Alt i alt har vi opnået

${\bm{v}} = \mu_1 \cdot \bm{u}_1 + \cdots + \mu_n \cdot \bm{u}_n + \gamma_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \cdots + \gamma_m \cdot {\bm{v}}_m \in \mathrm{Span}(\mathcal{V}). \tag{7.32}$ Idet ${\bm{v}} \in V$ var vilkårlig, så må $\mathrm{Span}(\mathcal{V})=V$ . Dette viser det ønskede og afslutter beviset.

Quiz

Lad $L: V \rightarrow W$ betegne en lineær transformation. Hvis

så er

, men der gælder ikke nødvendigvis, at

$\mathrm{dim}(V) \geq \mathrm{dim}(W)$

$\ker(L)=\{ \bm{0} \}$

$L(V)=W$

Quiz

Lad $L: V \rightarrow W$ betegne en lineær transformation. Hvis

, så er

$\mathrm{dim}(V) \leq \mathrm{dim}(W)$

$\ker(L) \neq\{ \bm{0} \}$

$L(V) \neq W$

Lad $V \times W$ betegne produktet af $\mathbb{F}$ -vektorrummene $V$ og $W$ . Vi kan anvende Sætning 7.20 til at bestemme en basis for $V \times W$ ud fra baser for hhv. $V$ og $W$ . Vi betragter i den forbindelse projektionsafbildningen
$\begin{aligned} P_W : V \times W & \rightarrow W, \\ (v,w) & \mapsto w, \end{aligned}$ hvis kerne vi allerede har fundet til $V \times \{ \bm{0} \}$ (jf. Eksempel 6.10 (5.)). Lad $({\bm{v}}_1,\ldots, {\bm{v}}_n)$ og $(\bm{w}_1,\ldots,\bm{w}_m)$ betegne baser for hhv. $V$ og $W$ . Ifølge Eksempel 7.19 (2.) er $\big( ({\bm{v}}_1,\bm{0}), ({\bm{v}}_2,\bm{0}),\ldots, ({\bm{v}}_n,\bm{0}) \big)$ da en basis for kernen til $P_W$ . Billedet af $P_W$ er lig $W$ , og idet
$P_W ( \bm{0} , \bm{w}_i) = \bm{w}_i,$ for $i=1,2,\ldots,m$ , så konkluderes det, at
$\big( ({\bm{v}}_1,\bm{0}), ({\bm{v}}_2,\bm{0}), \ldots, ({\bm{v}}_n,\bm{0}), (\bm{0},\bm{w}_1), (\bm{0},\bm{w}_2), \ldots, (\bm{0},\bm{w}_m)\big),$ er en basis for $V \times W$ , jf. Sætning 7.20. Specielt er
${\mathrm{dim}} (V \times W) = {\mathrm{dim}}(V) + {\mathrm{dim}}(W).$ Bemærk, at vi kun har argumenteret for denne formel når $V$ og $W$ har baser. Formlen gælder dog også for generelle vektorrum (overlades til læseren). Samme ide kan anvendes til at konstruere baser for vilkårlige produkter af vektorrum; herunder også $V^n$ . Man finder her, at
${\mathrm{dim}} (V^n) = n \cdot \mathrm{dim}(V),$ ved induktion i $n$ .
Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , og lad $L_A : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ betegne den tilsvarende lineære transformation. I Eksempel 6.10 (1.) har vi beskrevet billedet og kernen af $L_A$ som hhv. søjlerummet $R(A)$ og nulrummet $N(A)$ for $A$ . Ved anvendelse af Sætning 7.20 så opnår vi derfor dimensionsformlen
$\dim\big( N(A) \big) + \dim \big( R(A) \big)=n. \tag{7.33}$ I det kommende afsnit angiver vi en konkret metode til at bestemme baser for hhv. $R(A)$ og $N(A)$ ; specielt vil vi her genfinde identiteten (7.33).

7.3 Rækkerum, søjlerum og nulrum

Vi har allerede introduceret søjlerummet og nulrummet for en matrix $A$ , og vi vil nu introducere yderligere et vektorrum, nemlig rækkerummet, hørende til $A$ . Vi starter med definitionen og genopfrisker samtidig definitionerne på de tidligere indførte begreber. Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ betegne en matrix

$A= \begin{pmatrix} \mid & \mid & & \mid \\ \bm{a}_1 & \bm{a}_2 & \cdots & \bm{a}_n \\ \mid & \mid & & \mid \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \,\frac{\quad \,\,\,}{}\, \check \bm{a}_1 \,\frac{\quad \,\,\,}{}\, \\ \,\frac{\quad \,\,\,}{}\, \check \bm{a}_2 \,\frac{\quad \,\,\,}{}\,\\ \vdots \\ \,\frac{\quad \,\,\,}{}\, \check \bm{a}_m \,\frac{\quad \,\,\,}{}\,\\ \end{pmatrix}, \tag{7.34}$ med søjler betegnet med $\bm{a}_1, \ldots, \bm{a}_n \in \mathbb{F}^m$ og rækker betegnet med $\check \bm{a}_1,\allowbreak \ldots,\allowbreak \check \bm{a}_m \in \check{\mathbb{F}}^n$ . Vektorrummene $R(A) =\mathrm{Span}( \bm{a}_1,\ldots,\bm{a}_n) \subseteq \mathbb{F}^m$ og $\check R(A)=\mathrm{Span}(\check \bm{a}_1, \ldots, \check \bm{a}_m) \subseteq \check \mathbb{F}^n$ kaldes for hhv. søjlerummet og rækkerummet for $A$ . Herudover definerer $A$ endnu et vektorrum, nemlig nulrummet $N(A) \subseteq\nobreak \mathbb{F}^n$ , der defineres som løsningsmængden til det homogene ligningssystem $A \cdot \bm{x} =\nobreak \bm{0}$ .

Quiz

Lad $A \in$ Mat $_{3,4}(\mathbb{R})$ betegne den reelle matrix

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

Søjlerummet $R(A)$ er defineret som spannet af vektorerne

Rækkerummet $\check R(A)$ er defineret som spannet af vektorerne

$\begin{pmatrix} 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4\\ 8 \end{pmatrix}$

Quiz

Lad $A \in$ Mat $_{m,n}(\mathbb{F})$ . Angiv de udsagn, der altid er sande.

$N(A) \subseteq \mathbb{F}^m$

Lad $\bm{b} \in R(A).$ Da eksisterer der $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} \in \mathbb{F}$ , så $\\ A \cdot \begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{pmatrix} = \bm{b}$

$N(A) \subseteq \check R(A)$

$N(A) \subseteq R(A)$

Vi vil i dette afsnit diskutere, hvordan man bestemmer baser (såfremt disse eksisterer) for disse tre typer af vektorrum. Vi starter med at undersøge, hvordan vektorrummene ændrer sig under rækkeækvivalens, og lader i det følgende $B \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ betegne en matrix, der er rækkeækvivalent med $A$ . For søjlerne og rækkerne i $B$ anvender vi hhv. betegnelsen $\bm{b}_1,\bm{b}_2,\ldots,\bm{b}_n$ og $\check \bm{b}_1,\check \bm{b}_2,\ldots,\check \bm{b}_m$ .

Vi starter med at præcisere en af de grundlæggende ideer bag anvendelsen af elementære rækkeoperationer til løsninger af lineære ligningssystemer.

Nulrummene $N(A)$ og $N(B)$ er identiske.

Bevis

Idet $A$ og $B$ er rækkeækvivalente, så fremkommer det homogene ligningssystem $B \cdot \bm{x} = \bm{0}$ fra $A \cdot \bm{x} =\bm{0}$ ved anvendelse af en successiv følge af elementære operationer. Ifølge Lemma 1.6 er løsningsmængderne $N(B)$ og $N(A)$ for de to ligningssystemer da identiske.

Elementer i nulrummet $N(A)$ beskriver ifølge identiteterne i (5.23), hvilke lineære relationer der er blandt søjlevektorerne i $A$ . Derfor kan Proposition 7.26 også reformuleres som:

For givne skalarer $c_1,c_2,\ldots, c_n \in \mathbb{F}$ er følgende udsagn ækvivalente:

$c_1 \cdot \bm{a}_1 + c_2 \cdot \bm{a}_2 + \cdots + c_n \cdot \bm{a}_n = \bm{0}$ .
$c_1 \cdot \bm{b}_1 + c_2 \cdot \bm{b}_2 + \cdots + c_n \cdot \bm{b}_n = \bm{0}$ .

Bevis

Lad $\bm{c} \in \mathbb{F}^n$ betegne vektoren $(c_1,c_2,\ldots,c_n)^T$ . Så er (1.), jf. (5.23), ækvivalent med, at $A \cdot \bm{c} = \bm{0}$ ; dvs. ækvivalent med at $\bm{c}$ er indeholdt i nulrummet $N(A)$ for $A$ . Tilsvarende er (2.) ækvivalent med, at $\bm{c}$ er indeholdt i nulrummet $N(B)$ for $B$ . Men $A$ og $B$ er rækkeækvivalente, og har dermed identisk nulrum ifølge Proposition 7.26. Udsagnet er hermed oplagt.

Idet søjlerummet $R(A)$ , pr. definition, er udspændt af $\bm{a}_1,\bm{a}_2,\ldots,\bm{a}_n$ , så vil $R(A)$ , jf. Sætning 7.14 (1.), have en basis på formen $(\bm{a}_{i_1}, \bm{a}_{i_2},\ldots,\bm{a}_{i_r})$ (med mindre $A$ er nulmatricen). Vi påstår:

Antag at $A$ og $B$ begge er forskellige fra nulmatricen $\bm{O}$ . Lad

$1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r \leq n,$ betegne en samling af heltal. Så er følgende udsagn ækvivalente

$(\bm{a}_{i_1}, \bm{a}_{i_2}, \ldots, \bm{a}_{i_r})$ er en basis for søjlerummet $R(A)$ .
$(\bm{b}_{i_1}, \bm{b}_{i_2}, \ldots, \bm{b}_{i_r})$ er en basis for søjlerummet $R(B)$ .

Specielt har $R(A)$ og $R(B)$ samme dimension.

Bevis

Antag, at $(\bm{a}_{i_1}, \bm{a}_{i_2},\ldots, \bm{a}_{i_r})$ er en basis for $R(A)$ . Vi påstår, at $(\bm{b}_{i_1}, \bm{b}_{i_2}, \ldots, \bm{b}_{i_r})$ er lineært uafhængig: betragt nemlig en lineær relation

$c_{i_1} \cdot \bm{b}_{i_1} + c_{i_2} \cdot \bm{b}_{i_2} + \cdots + c_{i_r} \cdot \bm{b}_{i_r}=\bm{0}, \tag{7.35}$ for skalarer $c_{i_1},c_{i_2},\ldots, c_{i_r} \in \mathbb{F}$ . Ved at sætte $c_j=0 \in \mathbb{F}$ , for $j$ forskellig fra $i_1, i_2,\ldots,i_r$ , så kan vi opfatte (7.35) som en lineær relation som i Lemma 7.27 (2.). Specielt må vi, ifølge Lemma 7.27, have

$c_{i_1} \cdot \bm{a}_{i_1} + c_{i_2} \cdot \bm{a}_{i_2} + \cdots + c_{i_r} \cdot \bm{a}_{i_r}=\bm{0}. \tag{7.36}$ Men $(\bm{a}_{i_1}, \bm{a}_{i_2},\ldots, \bm{a}_{i_r})$ er en basis for $R(A)$ , så skalarerne $c_{i_1}, c_{i_2},\ldots,c_{i_r}$ er derfor lig $0$ , og den påståede lineære uafhængighed er dermed vist.

Det følger nu, jf. Lemma 7.11 og Proposition 7.9, at

$\mathrm{dim}(R(A)) = r \leq \mathrm{dim}(R(B)).$ Et tilsvarende argument viser, at $\mathrm{dim}(R(B)) \leq \mathrm{dim}(R(A))$ , og vektorrummene $R(A)$ og $R(B)$ har dermed samme dimension. Specielt er $(\bm{b}_{i_1}, \bm{b}_{i_2}, \ldots, \bm{b}_{i_r})$ en basis for $R(B)$ , jf. Proposition 7.12.

Sammenhængen mellem rækkerummene for $A$ og $B$ er forklaret ved:

Matricerne $A$ og $B$ har identiske rækkerum; dvs. $\check R(A) = \check R(B)$ .

Bevis

Idet $B$ fremkommer fra $A$ via en successiv følge af elementære rækkeoperationer, så er det tilstrækkelig at vise, at $\check R(A) = \check R(B)$ i tilfældet hvor $B$ fremkommer fra $A$ via en enkelt elementær rækkeoperation. I dette tilfælde er enhver række i $B$ en linearkombination af (maksimalt to) rækker i $A$ (pr. definition af elementære rækkeoperationer). Specielt vil rækkerne i $B$ være indeholdt i rækkerummet $\check R(A)$ for $A$ . Ved anvendelse af Lemma 5.12 så konkluderer vi hermed, at $\check R(B) \subseteq \check R(A)$ . Idet $A$ også fremkommer fra $B$ via en enkelt elementær rækkeoperation, så vises den modsatte inklusion $\check R(A) \subseteq \check R(B)$ tilsvarende.

Vi ønsker nu at anvende ovenstående resultater i tilfældet, hvor $B$ er på RREF. Pointen er, at rækkerum, søjlerum og nulrum let bestemmes for matricer $H$ på RREF. Idet enhver matrix er rækkeækvivalent med en matrix på RREF, så opnås hermed en konkret metode til bestemmelse af rækkerum, søjlerum og nulrum for en arbitrær matrix. Vi lader, i det følgende, $H \in \mathrm{Mat}_{m,n} (\mathbb{F})$ betegne en matrix på RREF med søjler og rækker betegnet med hhv. $\bm{h}_1,\bm{h}_2,\ldots,\bm{h}_n$ og $\check \bm{h}_1,\check \bm{h}_2,\ldots,\check \bm{h}_m$ . Vi antager yderligere, at $H \neq \bm{O}$ , og at de $r>0$ pivoter er placeret i søjlenumrene

$1 \leq d_1 < d_2 < \cdots < d_r \leq n.$ Vi minder om at Kroneckers delta $\delta_{i,j}$ er en betegnelse for skalaren $1$ , hvis $i=j$ , mens $\delta_{i,j}$ betegner skalaren $0$ hvis $i \neq j$ .

Nulrummet for $H$ er beskrevet på en af følgende måder:

Hvis $r=n$ , så er $N(H) = \left\{\bm{0}\right\}$ .
Hvis $r<n$ , så lader vi
$1 \leq e_1 < e_2 < \cdots < e_{n-r} \leq n,$ betegne de heltal i intervallet $[1,n]$ , der ikke er på formen $d_i$ . For $i=1,2,\ldots,n-r$ , så eksisterer der et entydigt element ${\bm{v}}_i \in N(H)$ med $e_j$ 'te koordinat lig $\delta_{i,j}$ , for $j=1,2,\ldots,n-r$ . Da er $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_{n-r})$ en basis for $N(H)$ .

Bevis

Idet nulrummet $N(H)$ er løsningsmængden til det homogene lineære ligningssystem $H \cdot\bm{x} = \bm{0}$ , så kan vi argumentere vha. Proposition 1.12. Tilfældet Lemma 7.30 (1.) følger umiddelbart, og vi kan derfor antage, at $r<n$ . Indholdet af Proposition 1.12 er nu, at elementerne i nulrummet er bestemt entydigt ud fra koordinaterne på pladserne $e_1,e_2,\ldots,e_{n-r}$ . Med andre ord, er afbildningen

$L : N(H) \rightarrow \mathbb{F}^{n-r},$ defineret ved

$L \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{e_1} \\ \alpha_{e_2} \\ \vdots \\ \alpha_{e_{n-r}} \\ \end{pmatrix}$ en bijektion. Men $L$ er også oplagt en lineær afbildning, og dermed en lineær isomorfi. Pr. definition af ${\bm{v}}_i$ , så vil $L({\bm{v}}_i)$ være det $i$ 'te standardbasiselement for $\mathbb{F}^{n-r}$ . Specielt er $(L({\bm{v}}_1), L({\bm{v}}_2),\ldots, L({\bm{v}}_{n-r}))$ en basis for $\mathbb{F}^{n-r}$ , og dermed er $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_{n-r})$ en basis for $N(H)$ ifølge Proposition 7.18.

Elementerne $(\bm{h}_{d_1}, \bm{h}_{d_2}, \ldots, \bm{h}_{d_r})$ er en basis for søjlerummet $R(H)$ til $H$ .

Bevis

Pr. definition af RREF så er de øverste $r$ rækker i $H$ forskellig fra nulrækken, mens de nederste $m-r$ rækker er nul. Søjlerummet $R(H)$ for $H$ er dermed indeholdt i vektorrummet

$V = \mathrm{Span}(\bm{e}_1,\bm{e}_2,\ldots,\bm{e}_r),$ hvor $\bm{e}_1,\bm{e}_2,\ldots,\bm{e}_r$ angiver de første $r$ standardbasiselementer for $\mathbb{F}^m$ . Idet $H$ er på RREF, så konkluderes det yderligere, at $\bm{h}_{d_s}$ , for $s=1,2,\ldots,r$ , er lig $\bm{e}_s$ . Specielt må $V \subseteq R(H)$ . Sætningens udsagn er nu umiddelbart klart.

Elementerne $(\check \bm{h}_{1}, \check \bm{h}_2, \ldots, \check \bm{h}_r)$ er en basis for rækkerummet $\check R(H)$ .

Bevis

Idet $\check \bm{h}_i=\bm{0}$ for $i >r$ , så er det oplagt, at $(\check \bm{h}_{1}, \check \bm{h}_2, \ldots, \check \bm{h}_r)$ udspænder rækkerummet $\check R(H)$ . Vi skal derfor alene vise, at $(\check \bm{h}_{1}, \check \bm{h}_2, \ldots, \check \bm{h}_r)$ er lineært uafhængig. Vi bemærker først, at idet $H$ er på RREF, så vil den $d_i$ 'te søjle $\bm{h}_{d_i}$ i $H$ være lig standardbasiselementet $\bm{e}_i$ i $\mathbb{F}^m$ . På den anden side, så kan den $d_i$ 'te søjle i $H$ også beskrives som produktet af $H$ med det $d_i$ 'te standardbasiselement $\bm{f}_i$ for $\mathbb{F}^n$ , jf. formel (5.23). Vi konkluderer dermed, at

$H \cdot \bm{f}_i = \bm{e}_i. \tag{7.37}$ Bemærk nu, jf. definitionen af matrixproduktet, at den $j$ 'te indgang i $H \cdot \bm{f}_i$ er lig $\check \bm{h}_j \cdot \bm{f}_i$ , for $j=1,2,\ldots,m$ . Sammenholdt med (7.37) så opnår vi derfor samlet, at

$\check \bm{h}_j \cdot \bm{f}_i= \delta_{i,j} \tag{7.38}$ for alle $1 \leq i \leq r$ , $1 \leq j \leq m$ , hvor $\delta_{i,j}$ betegner Kroneckers delta. For en given lineær relation

$\alpha_1 \cdot \check \bm{h}_1 + \alpha_2 \cdot \check \bm{h}_2 + \cdots + \alpha_r \cdot \check \bm{h}_r = \bm{0},$ har vi dermed, at

$\begin{aligned} 0 & = \bm{0} \cdot \bm{f}_i \\ & = (\alpha_1 \cdot \check \bm{h}_1 + \alpha_2 \cdot \check \bm{h}_2 + \cdots + \alpha_r \cdot \check \bm{h}_r) \cdot \bm{f}_i \\ & = \alpha_i, \end{aligned}$ for $i=1,2,\ldots,r$ . Specielt er enhver lineær relation mellem elementerne $\check \bm{h}_{1}, \check \bm{h}_2,\allowbreak \ldots, \check \bm{h}_r$ triviel, og den ønskede lineære uafhængighed er hermed vist.

Som korollarer til ovenstående lemmaer og propositioner har vi nu:

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , med $A \neq \bm{O}$ , og lad $H$ betegne en matrix på RREF, der er rækkeækvivalent med $A$ . Så er $N(A)=N(H)$ , og $N(A)$ kan derfor bestemmes ud fra $N(H)$ som beskrevet i Lemma 7.30.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , og lad $H$ betegne en matrix på RREF, der er rækkeækvivalent med $A$ . Antag at $A \neq \bm{O}$ , og at pivoterne for $H$ er placeret i søjlenumrene

$1 \leq d_1 < d_2 < \cdots < d_r \leq n.$ Så er $(\bm{a}_{d_1},\bm{a}_{d_2},\ldots, \bm{a}_{d_r})$ en basis for søjlerummet $R(A)$ til $A$ .

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , og lad $H$ betegne en matrix på RREF, der er rækkeækvivalent med $A$ . Antag at $A \neq \bm{O}$ , og at $H$ har $r>0$ rækker der er forskellig fra $\bm{0}$ . Så er $(\check \bm{h}_1, \check \bm{h}_2, \ldots, \check \bm{h}_r)$ en basis for rækkerummet $\check R(A)$ til $A$ .

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , og lad $H$ betegne en matrix på RREF, der er rækkeækvivalent med $A$ . Lad $r \geq 0$ betegne antallet af pivoter i $H$ . Så:

$\dim(R(A)) = \dim(\check R(A))=r$ .
$\dim(N(A)) =n-r$ .
$\dim(R(A)) + \dim(N(A)) = n$ .

Bevis

I tilfældet hvor $A=\bm{O}$ der er $R(A) = \{ \bm{0} \}$ , $\check R(A) = \{ \bm{0} \}$ mens $N(A)=\nobreak \mathbb{F}^n$ . I dette tilfælde er $H$ nødvendigvis lig $\bm{O}$ , og specielt er $r=0$ . De påståede identiteter er dermed opfyldte.

Så antag at $A \neq \bm{O}$ . Da følger (1.) af Korollar 7.34 og Korollar 7.35, mens (2.) følger af Korollar 7.33. Udsagn (3.) er en direkte konsekvens af (1.) og (2.).

[Rang] For en matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ kaldes den fælles værdi for dimensionen af søjlerummet $R(A)$ og rækkerummet $\check R(A)$ for rangen af matricen $A$ . Rangen af $A$ betegnes også med $\mathrm{rang}(A)$ .

Det oplyses at en reel matrix $A$ er rækkeækvivalent med matricen

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Angiv rangen af $A$ .

$1$

$2$

$3$

$1$

Betragt $A \in \mathrm{Mat}_{3}(\mathbb{R})$ givet ved

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} .$ Anvendes elementære rækkeoperationer på $A$ opnås

$\begin{aligned} A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \\ \end{pmatrix} & \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ & \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =H, \end{aligned}$ hvor $H$ er på RREF. Vi aflæser umiddelbart, at $H$ har pivoter i søjle $1$ og $2$ . Specielt er $\mathrm{rang}(A)=2$ . Ifølge Korollar 7.34 er

$\big( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \\ \end{pmatrix} \big)$ en basis for søjlerummet til $A$ . Rækkerummet for $A$ har, jf. Korollar 7.35, basen

$\big( ( 1, 0, -1 ) , (0, 1, 2) \big).$ Nulrummet $N(H)$ af $H$ (og dermed af $A$ , jf. Korollar 7.33) kan, jf. Lemma 7.30, beskrives ved at lade

${\bm{v}}_1= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \end{pmatrix}$ betegne det entydige element i $N(H)$ med $\alpha_3=1$ . Vi ser umiddelbart, at dette betyder, at

${\bm{v}}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} .$ Konklusionen er, at $({\bm{v}}_1)$ er en basis for nulrummet $N(A)$ .

Angiv nedenfor en algoritme til bestemmelse af baser for rækkerum og søjlerum, samt bestemmelse af rang for en matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ (forskellig fra nulmatricen).

Rangen af $A$ er da $r$ .

Udfør ERO på $A$ og opnå en matrix $H$ på RREF.

Søjlerne $\bm{a}_{d_1},\bm{a}_{d_2}, \ldots, \bm{a}_{d_r}$ i $A$ udgør en basis for $R(A)$ .

Lad $d_1, d_2, \ldots, d_r$ betegne søjlenumrene i $H$ med pivoter.

De første $r$ rækker i $A$ udgør en basis for $\check R(A)$ .

De første $r$ rækker i $H$ udgør en basis for $\check R(A)$ .

Søjlerne $\bm{h}_{d_1},\bm{h}_{d_2}, \ldots, \bm{h}_{d_r}$ i $H$ udgør en basis for $R(A)$ .

7.4 Baser i $\mathbb{F}^m$

Vi vil nu betragte basisbegrebet i det specielle vektorrum $\mathbb{F}^m$ . Vi lader $\mathcal{V}= ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ betegne en samling af elementer i $\mathbb{F}^m$ og ønsker at bestemme dimensionen af $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ og om $\mathcal{V}$ er en basis for $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ .

I den forbindelse indfører vi matricen

$A = \begin{pmatrix} {\bm{v}}_1|{\bm{v}}_2| \cdots |{\bm{v}}_n \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}),$ med søjler ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ , og observerer, at

$R(A) = \mathrm{Span}(\mathcal{V}).$ Vi kan derfor anvende Korollar 7.34 til at udtale os om egenskaber ved $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ . F.eks. så opnår vi på denne måde en udtynding af $\mathcal{V}$ til en basis $\mathcal{U}$ for $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ (såfremt $\mathrm{Span}(\mathcal{V}) \neq \{ \bm{0} \}$ ), hvilket specielt betyder, at vi kan bestemme dimensionen af $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ , jf. Proposition 7.9.

Vi illustrerer disse overvejelser med et eksempel:

Betragt vektorrummet $\mathbb{R}^3$ og elementerne

${\bm{v}}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} , \quad {\bm{v}}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} , \quad {\bm{v}}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ \end{pmatrix} .$ Vi indfører matricen

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ \end{pmatrix},$ og udfører elementære rækkeoperationer

$A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =H.$ Idet $H$ er på RREF og har to pivoter placeret i hhv. søjle $1$ og søjle $2$ , så konkluderes det, at $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2)$ er en basis for $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ . Specielt er $\mathcal{V}$ lineært afhængig og udspænder et vektorrum $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ af dimension lig $2$ .

Ovenstående ideer kan anvendes til at afgøre, om $\mathcal{V}$ udspænder eller er en basis for $\mathbb{F}^m$ : at $\mathcal{V}$ udspænder $\mathbb{F}^m$ betyder, at $\mathrm{Span}(\mathcal{V})=\mathbb{F}^m$ , og er opfyldt, netop når dimensionen af $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ er lig $m$ , jf. Proposition 7.16. I givet fald, så er $\mathcal{V}$ en basis for $\mathbb{F}^m$ , blot $\mathcal{V}$ er identisk med den udtyndede basis $\mathcal{U}$ beskrevet ovenfor.

Udover at udtynde udspændende mængder til baser, så kan vi også anvende teorien i Afsnit 7.3 til at udvide lineært uafhængige samlinger af elementer $\mathcal{V}$ til baser for $\mathbb{F}^m$ . Tricket er her at betragte mængden

$\mathcal{W} = ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots, {\bm{v}}_n, \bm{e}_1,\bm{e}_2,\ldots,\bm{e}_m),$ hvor $(\bm{e}_1,\bm{e}_2,\ldots,\bm{e}_m)$ betegner standardbasen for $\mathbb{F}^m$ . Det er da oplagt, at $\mathcal{W}$ udspænder $\mathbb{F}^m$ , og vi kan derfor udtynde $\mathcal{W}$ til en basis for $\mathbb{F}^m$ via metoderne beskrevet ovenfor. At den herved opnåede basis er en udvidelse af $\mathcal{V}$ , er ikke helt oplagt, men følger af:

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ betegne en matrix med søjler $\bm{a}_1,\bm{a}_2,\allowbreak \ldots,\allowbreak\bm{a}_n \in \mathbb{F}^m$ , og lad $H$ betegne en matrix på RREF, der er rækkeækvivalent med $A$ . Antag, for et givet $k$ , at $(\bm{a}_1,\ldots, \bm{a}_k)$ er lineært uafhængig. Så har $H$ (som minimum) pivoter i de første $k$ søjler.

Bevis

Lad $A_k \in \mathrm{Mat}_{m,k}(\mathbb{F})$ betegne matricen med søjler $\bm{a}_1,\bm{a}_2,\ldots,\bm{a}_k$ , og lad tilsvarende $H_k \in \mathrm{Mat}_{m,k}(\mathbb{F})$ betegne matricen bestående af de første $k$ søjler i $H$ . Så er $A_k$ og $H_k$ rækkeækvivalente, og $H_k$ er på RREF. Pr. antagelse er søjlerne i $A_k$ lineært uafhængige og dermed en basis for søjlerummet $R(A_k)$ . Antallet af pivoter i $H_k$ er derfor $k$ , jf. Korollar 7.36. Derfor har $H_k$ , og dermed også $H$ , pivoter i de første $k$ søjler.

Ovenstående resultat viser, at den opnåede udtynding af $\mathcal{W}$ stadig vil indeholde elementerne ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ , og at vi dermed opnår en udvidelse af $\mathcal{V}$ til en basis for $\mathbb{F}^m$ . Vi illustrerer denne metode med et eksempel:

Betragt vektorrummet $\mathbb{R}^3$ og elementerne

${\bm{v}}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} , \quad {\bm{v}}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} .$ Ifølge Eksempel 7.39 så er $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2)$ lineært uafhængig. Vi ønsker at udvide $\mathcal{V}$ til en basis for $\mathbb{R}^3$ , og indfører mængden $\mathcal{W} = ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\bm{e}_1,\bm{e}_2,\bm{e}_3)$ og den tilsvarende matrix

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} .$ Herefter udfører vi elementære rækkeoperationer på $A$ :

$\begin{aligned} A & \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ & \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} =H. \end{aligned}$ Den resulterende matrix $H$ har pivoter i søjlerne $1$ , $2$ og $3$ , og derfor er $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\bm{e}_1)$ en udvidelse af $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2)$ til en basis for $\mathbb{R}^3$ .

Quiz

Samlingen af vektorer bestående af

er lineært uafhængige i $\mathbb{R}^3$ .

${\bm{v}}_1 = (0,0,0)^T$

${\bm{v}}_2 = (0,6,3)^T$

${\bm{v}}_3 = (1,5,3)^T$

${\bm{v}}_4 = (0,2,1)^T$

Quiz

Angiv en vektor i $\mathbb{R}^3$ , der sammen med $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ og $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ udgør en lineært uafhængig samling af elementer.

Dit svar: Det er en

Quiz

Vektorerne

udspænder $\mathbb{R}^2$ .

$(0,0)^T$

$(1,1)^T$

$(-1,1)^T$

$(2,2)^T$

$(2,-2)^T$

Quiz

Angiv en vektor i $\mathbb{R}^3$ , således at den sammen med vektorerne $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ og $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ udspænder $\mathbb{R}^3$ .

Dit svar: Det er en

7 Lineær uafhængighed og baser

7.1 Udvidelse og udtynding

7.2 En dimensionsformel

7.3 Rækkerum, søjlerum og nulrum

7.4 Baser i \mathbb{F}^m

7.4 Baser i $\mathbb{F}^m$